潘瑩明:好教學 ——壞成果(中)

>> 好教學 —— 壞成果(上集) 

本欄上篇提及舒恩費(A.H. Schoenfeld,以下簡稱舒)的一項數學教育研究(註1),指出「好教學竟然得出壞成果」(註 2)。簡單地說,其中的「好」,是讓學生得到好成績;卻「壞」在沒有把豐富而具活力的數學思維,感染到學生。

這回我把舒用作引子的兩道幾何題展示一下,讓大家和數學打個新的招呼,直接感受一下舒所說的「好」和「壞」。如果你厭惡數學,更請續看下去,因為可能追蹤到你厭惡的根源; 而且,你可以先拿這兩道題目給唸過中五的子女或學生試試,也可以跟數學同事評論一下,看看你、子女和學生對數學從未感動過、或數學同工可能不滿的原因,是否和舒所看到的相近。

第一題:
右圖中,C為圓心,PV和QV分別為
圓於P、Q兩點的切線。
求證(a)PV = QV ;
(b)線段VC平分角PVQ 。

在一次講座,舒給一班數理科的大學生出了這道題,讓他們分組討論。結果他們用不上3分鐘就解答了這一題。你不妨也試試看還記得多少中學時的數學知識?更可以請你的子女或學生試一下身手。(註3)

當時,舒在黑板記下了學生的證明後,再在黑板另一邊寫出以下第二題,請他們討論。

第二題:在圖中,求作一圓相切於兩直線並且通過P點。

看了題目,你會試做嗎?你會拿給別人試嗎?同事、子女、學生肯試嗎?為甚麼肯或不肯呢?對於肯試的你或別人,不妨留意一下其反應,或再想多想深一層:「究竟數學是要教和學些甚麼的?」

至於舒的那一班大學生,是這樣處理第二題的。綜合起來,有以下4種猜想:

你認為哪一個猜想對呢?為甚麼是對的呢?(註3)

當時,舒的大學生用了十多分鐘討論也沒有找出合適的理由來判斷哪一個猜想是對的。雖然舒早已把相關的理由寫在黑板(即第一題的證明),卻沒有一位引用它。

舒指出一個怪現象:學生可以清楚展示他們懂得的數學知識,但也可以隨即直面相逢也不識,就像從未見過一樣。例如以上學生提出猜想2的理由只是:「圓心的位置應該較猜想1的偏左一些。」

舒再進一步指出這個怪現象十分普遍。在他5年內(1979-84)訪談過的中學生或大學生中,超過90%都不會引用第1題的證明去解答第2題。

這問題,怎樣解決?

我問過幾位數學師訓班的同學,有人說:「只要把兩題變成同一題的a部和 b部,並且在b部的題目前加上半句:『利用a部所示,在圖中作一圓……』,問題不就解決了嗎?」

你同意嗎?

的確,分a, b題能令更多學生得出b題的正確答案;但我倒認為,這恰恰是加強舒的「好」教學的「壞」成果,讓學生更依賴別人「抓住他的手去寫字」,而不是訓練他自主自如地運用學到的知識。試問,人生的難題,包括利用數學去解決科學和社會問題,有誰會事先告訴你:「利用甚麼甚麼所示……」的呢?學會在茫無頭緒之中找出方法,才是教育的真諦嘛。不是嗎?

我們的教學,有沒有出了甚麼問題?數學教學,可能更有生命力嗎?下回分解吧。

(註)

  1. 這項研究兩篇報告原文見Schoenfeld, A. H. (1988). When good teaching leads to bad results: The disasters of “well-taught” mathematics courses. Educational Psychologist, 23(2), 145-166(或連結 Explorations of Students’ Mathematical Beliefs and Behavior )
  2. 報告中說的「好」與「壞」,見此文:好教學 —— 壞成果(上集) 
  3. 如想知道兩道題目的答案,快去找數學同事聊一聊吧。