潘瑩明:我做得到嗎?

中二級數學:(ap)q=apxq —— 指數定律之一。

教學問題

若要求學生自行發現以上定律,你認為他們做得到嗎?(自行的意思,是事前只介紹指數的表達形式和意義,例如a5=a×a×a×a×a,隻字不提定律本身。)

作為家長,你會期望子女做得到嗎?作為非數學老師,你會期望學生做得到嗎?作為數學老師,你會期望學生做得到嗎?請先想一想,定了你們的答案,再看我給你們寫的兩個結局。

提示:引導學生自行發現的一個中間步驟,是出這麼一題給他們做:

試找出p和q的值,使得(ap)q=a16 —— 思考題。

這一題,你又認為他們做得到嗎?

結局一

黃老師是和我合作教中二級的數學老師。對於以上問題,他的看法是:「他們不可能自行發現那指數定律。未教定律,這思考題又怎會懂得做呢?」

我說:「讓她們試試嘛,當是測試一下她們的高階思維吧。」

溫文的黃老師沒有繼續和我爭議,雖然引導學生自行發現那條公式他無從著手,他還是把思考題放入家課中。後來,我問黃老師:「有學生解答到這思考題嗎?」

黃老師苦著臉搖頭說:「就如我所預料的,她們都做不來。只有一個做到了,那是因為她自己學了指數定律。」

我嘗試開解他說:「其實我想學生從之前做過有關指數定義的題目中,觀察到一些規律,而不是想她們靠公式去做數而已。」

但是,黃老師還是繼續搖頭慨嘆:「其他學生都沒有自動自覺去看一看指數定律。唉!一點也不會主動學習。所以,她們都做不來呀。」他的「主動學習」,止於翻書找公式。

結局二

上述的教學問題,我在師訓班裡問了幾位準數學老師。

他們先研究思考題,輕輕鬆鬆地商量了一下,很快就提供了這個方法:「先用一些數字代入p和q,例如p是2,q是3,這樣看看(a2)3是甚麼意思。

跟著,讓學生在黑板寫出16個a(如下):
a×a×a×a×a×a×a×a×a×a×a×a×a×a×a×a

請她們加上適量的括弧去組合,觀察一下那樣才會符合
(ap)q的樣式。」

稍後,他們更看得出,引導不同學生說出,思考題的p和q答案不止一個,而可以分別是2和8,4和4,8和2(乃至1和16 及 16和1)都能得出a16的結果,這時候,不難有人自行寫得出(ap)q=apxq 這條定律。

你的期望 - 你的結局 - 你的能力

看完這兩個結局,你會改變你本來的想法嗎?你期望學生學了公式才去做數,抑或期望學生可以從解決問題的過程中,重新發現規律,進而自行建立公式呢?

我見識過以上兩個不同的結局,更多了一重感悟。每個人對自己有一定的期望,期望低時偏向說「不可以」,期望轉高時會豪氣地說:「為甚麼不可以?」對學生的期望,亦復如是。

最後再來一個無關數學的故事,但仍然是一個關於期望與能力的親身經歷。

話說佔中運動第一天,在添美道相向行車線中間有一石壆,眼看年輕人一下子就可以踏上石壆,由一邊走去另一邊。我就要搬來一張椅子,踏上椅子爬上石壆。跟著把椅子搬到另一邊才能夠踏下去。

過了一晚,實在太疲倦,只想快點回家睡覺。但是警察封了行人電梯,必須爬過添美道和夏道兩個石壆才能離開,但是已經找不到椅子了。硬著頭皮用手著石壆先坐上去,再轉身去另一邊滑下去。就這樣意料之外地發覺自己原來是做得到的。

後來,有心人在石壆兩邊做了一些梯級。一個晚上,舊地重遊,看見年輕嬌小的女生都可以很方便地上落了。但是,因為她們結伴而來的男生們也陪著一起走梯級,結果排了一隊人等著過去。這時,有一位稍高的女孩輕輕走來,一抬腿就跨了過去,像體操隊的選手,兩腳著地,長髮飄揚,微微一笑,帥到不行。在場的男孩才恍然大悟:「咦!其實我們也可以跨過去的。為甚麼要排隊走梯級呢?」

原來你對自己的期望,除了給自己,也給旁人展示一個海闊天空。

(作者為教協會理事)