數學是你的(下)

數衷情 ■ 潘瑩明

上文【 】提及一個故事,寫的是一個十歲小女孩艾達在數學課的傷心經歷。當時老師提出了以下兩個問題:

(一)給出兩個全等的正四面體,各有4個面都是等邊三角形,即合共有8個等邊三角形。如果把它們的任意兩個面貼合起來,這樣造成的新多面體共有多少個面?

(二)給出一個正四面體和一個角錐體(金字塔),全部邊的長度一樣。角錐體的底是正方形,4個側面是等邊三角形,所以兩個多面體共有9個面。如果把它們的任意兩個三角形面貼合起來,這樣造成的新多面體共有多少個面?

艾達兩題都答對了,但老師說她答錯了第二題,因為跟課本提供的答案不同。艾達還害到要校長見家長,囑接她回家好好反省。假如你有幸作為艾達的數學老師,你會為你的學生親自核證一下課本的答案嗎?

我的朋友就用了不同的方法去核證了。

朋友甲用了「取巧」法。她說:「第一題的答案顯而易見是(4+4)﹣2=6個面。你緊接著問第二題,必定是個陷阱,答案不會是(4+5)﹣2=7個面,兩個多面體的一些側面應該是連成一個平面,所以答案應該少於7,可能是6或5。」

朋友乙用的是「手作」法,用廢棄的硬紙皮做了(圖一)的模型,併合起來就可以數出5個面。雖然手工稍為粗糙,這種實事求是的精神值得嘉許。

朋友丙是數學老師,他「精準」地計算了正四面體兩個側面的夾角(約為70.5度),也計算了金字塔兩個相鄰等邊三角形面的夾角(約為109.5度),合共為一平角。所以,如果把正四面體和金字塔的任意兩個三角形面貼合起來,兩個多面體相鄰的等邊三角形就會連成一個平面。結果是課本答案的7個面再多減兩個,即是只有5個面。

朋友丁更是「手作」和「精準」並行,既計算也摺出模型。她說:「可以先教學生用簡單的方法摺出模型,讓她們拿著自己的製成品,引起她們觀察實物的興趣,再看看有誰想繼續學用計算角度的方法。既然高中課程要求他們學計算,何不在閒時當作益智題和她們玩耍一下呢?」隨後還有朋友戊,興致盎然地把問題(二)連繫到正四面體和正八面體的體積關係呢。

原來,拋開課本答案這個緊箍咒,老師可以用問題(二)向學生展現多姿多采的領域,讓她們去探究,去尋寶,就如朋友甲乙丙丁戊,各自闖出一套捉摸數學的門路。而故事中艾達的工程師爸爸,本想做出模型來說服女兒,讓「不可理喻」的、闖了禍的她接受老師的教誨。結果,看著自己做出來的模型,臉上慢慢地露出了笑容,輕聲呼喚太太和囡囡:「我有東西要給你們看。」

所以嘛,實事求是,數學不是同學們民主決定的,不是老師校長的,不是任何權威的,而是你的。我們更應反思一下,教自然科學,我們究竟教了「君子有三畏」之中的「畏大人,畏聖人之言」,還是教了「小人……狎大人,侮聖人之言」呢?究竟教哪樣才算好教育?或再大膽問一問,那麼社會人文科目呢?

【 註 】〈數學是你的(上)